|
このページで扱う画像は図形ソフトCabriU で作成したものです． Cabriの動画（CabriU，Cabri3D）を見るには次の設定が必要です． 1.ブラウザはInternet Explorerを用いてください．現在他のブラウザでは見ることができません． 2.Javaのインストールが必要です(JavaはWeb上簡単にダウンロードできます)． Javaのインストール後Javaのコントロール・パネルを開き 上面にいくつかのタブがありますがその中のセキュリティーのタブをクリック セキュリティレベルを低いほう(高(H))にし サイト・リストの編集をクリック 追加をクリック 本ホームページのアドレス http://sshmathgeom.private.coocan.jp/ を入力し 例外サイトウィンドウのＯＫをクリック その後ログオンしなおせば当ホームページのすべてのCabriの動画を見ることができます．
アポロニウスの問題を扱います．アポロニウスの問題とは次の問題をいいます．
図１（太円はO1,O2に外接する） 図２（太円はO1,O2に内接する） 図３（太円はO1に内接,O2に外接する） 図４（太円はO1に外接,O2に内接する） ８つの円とは 与えられた３つの円のそれぞれの内接，外接を考えると思うでしょうが，それほど単純ではありません． その辺を検討いたしましょう． 次の図は図１を少し書き直したものです．Pをどのように動かしても，２ヶ所の太い赤い円弧，線分で囲まれた領域は 通りません． 図５ すなわち，次の図の赤い太線で囲まれた部分に含まれる円O’と２円O1,O2の共通外接円 が接することはありませんし，赤い太線からはみ出ている円O"とは２円O1,O2の共通外接円 が接するのは１つしかありません．  それでは，２円O1，O2ともう１つの円がO’ならどうなるのでしょうか．そのヒントが次の図にあります． すなわち，Pを動かしたとき，２円O1,O2の共通外接円のうち円O'と接するのは４つ存在します．この赤い太線 で囲まれた部分は２円O1，O2の共通内接円の通らない部分なのです． 図６ すなわち，図２の赤い線で囲まれた部分に含まれる円O'と接する２円O1，O2の共通内接円は４つあるのです．それを 次の図で確かめてみましょう． 図７ ２円O1,O2の共通内接円，共通外接円のうち，円O3に接するものが４つあり，２円O1,O2の片方に内接，もう一方に 外接する円が同様に４つあることがわかります． 第２節 初等幾何的取り扱い 以上で存在についてはわかりました．しかし，３円に接する円を作図せよ，すなわち，求める円の中心を求める ことの解答にはなっていません．これから，求める円の中心の見つけ方を考えていきます．  なお，証明を通して円のすばらしい性質を学んで欲しいと思います． まず，与えられた２円O,O’の両方に接する円を求めます． 右の図で，点Aは相似の中心（上は２円の共通外接線の交点，下は２円の共通内接線の交点）， Aを通る直線と２円O,O'との交点を図のようにP,Q,R,Sとする． OQとO'Rとの交点をTとおけば，OP‖O'RよりTQ=TRが成り立ちます． したがって，Tを中心とする半径TQの円は２円O,O'に外接します． 上図でPOの延長とSO'の延長の交点をTとすれば，点Tは２円O，O'の共通内接円の中心です． 
次に，右図で，点Aはもう一つの相似の中心（共通内接線の交点）です． OSの延長とO'Qの延長の交点をTとすれば，点Tは TS=TQより円Oに内接し円O'に外接する円の中心です．同様にORとO'Pの交点をTとすれば 点Tは円Oに外接し，円O'に内接する円の中心となります．以上の原理より作成したのが上の４つの図です． さて，話を戻しましょう． 命題１ ２円O，O'が互いに他の外部にあるとき，２円O，O'の相似の中心Aを通る直線と円O，O'との交点を順に P,Q,R,Sとするとき，円O，O'とそれぞれ点Q,Rで外接する円Tが存在する ことがわかりました．（右図） 
次に逆も示しましょう．幾何学では，１つの命題が証明できたとき，その逆も示し，同値である命題にするのが 証明をすっきりさせるコツです（逆の命題といってもひとつとは限りません．命題を前提，仮定，結論と分ける方法 はいろいろあり，その場に応じて考えます）． すなわち， 命題２ 円Tが円O，O'と外接し接点をそれぞれB,Cとするとき直線BCは相似の中心Aを通る を証明しましょう． 
BCとOO'の交点をA，BCと円Oの交点のうち，CでないほうをDとします．
このとき，∠TBC=∠TCB=∠OCD=∠ODC より OD‖O'T したがって， OA：O'A=OD：O'B より，点Aは相似の中心（共通外接線の交点）である． 少し変形し，次の形の命題も証明しておきます． 命題３ 
円O,O'の共通外接線の交点をAとする．Aを通る直線と円O，O'との交点B,C,Dを図のようにとる．B,Cを通る円Tが点Cで円O'と外接するなら，円Tは点Bで円Oと外接する． 証明 OD‖O'Cより ∠TBC＝∠TCB=∠ODB＝∠OBD したがって，T,B,Oは一直線上にあり，円Tは円Oに外接する． 以下，これから用いる円の性質について復習いたします． 性質１ 
２円O，O'は互いに他の外部にあり，点Aは２円O，O'の共通外接線の交点（相似の中心）である．
点Aを通る２直線と２円O,O'との交点を図のようにP,Q,R,S；P',Q',R',S'とする．このとき
次が成り立つ．（１） AP・AS＝AQ・AR＝AP'・AS'＝AQ'・AR' （２） AP・AQ・AR・AS＝AT・AT' （３）４点P,P',S',S；Q,Q',R',Rは同一円周上にある． 証明 円O,O'に関する点Aの方べきをそれぞれK2,L2とおく． 円O，O'の相似比を１：ｍとおくと， AP・AS=AP・ｍAQ＝ｍ・K2＝（一定） より（１）が成り立つ． AP・AQ＝AT２，AR・AS＝AT’２ より（２）が成り立つ． （１）および方べきの定理の逆より（３）が成り立つ． 注意 AP・AS＝ｍ・K2＝（一定） より，Aを中心とする(半径)2＝ｍ・K2の円を 反転円とする反転変換に よる円Oの像が円O’である． 性質２ ３つの円があり，２つずつが２点で交わるとする．それぞれの２円の交点 を結んでできる３本の直線は平行であるか，１点で交わる． 
証明 ３本の直線が平行でないとき示せばよい． 円O，O'の交点をA，B,円O,O"の交点をC,Dとし，ABとCDの交点をPとする． ２円O',O"の交点を片方をEとする．PEの延長と円O'，O"との交点をそれぞれF',F" とすると PE・PF'＝PA・PB PE・PF"＝PC・PD PA・PB＝PC・PD よりPE・PF'＝PE・PF" したがって，F'とF"は一致し，その点は円O’，O"の交点である．したがって，３本の直線は点Pで交わる． 注意 点Pは３円O,O',O"までの接線の接線の長さの等しい点である．この点Pを３円O,O',O"の根心という． 性質２の応用として，次の例を考えてみよう．この例は後で用いられる． 
例２点A,Bと円Oが与えられている．このとき，２点A,Bを通り，円Oに接する円を作図せよ． ２点A，Bを通るOと２点で交わる円を２つ書き， 円Oとの交点をC，D；E，Fとすると性質２より ３直線AB,CD,EFは一点で交わる． このことは，２点A，Bを通る任意の円と円Oとの交点をC,Dとすると 直線CDは定点を通ることを意味している． この定点をP（ABとCDの交点）とする． Pから円Oに引いた接線をPT，PT’とすると， PA・PB＝PC・PD＝PT２＝PT’２ 
方べきの定理の逆より，３点A,B,T；A,B,T’を通る円はそれぞれPT,PT’に接する．一方，PT,PT’は円OとそれぞれT,T’で接するから３点A,B,T:A,B,T’を通る円はそれぞれ円Oに外接する． 準備は整いました． 
問題３円O１,O２,O３がどの２つも互いに他の外部にある．このとき，この３円に外接する円の中心を求めよ． 解答 O1，O2，O3の半径をそれぞれｒ１，ｒ２，ｒ３とし， ｒ１≦ｒ２，ｒ１≦ｒ３ とします． O2,O3を中心とする半径 ｒ２−ｒ１，ｒ３−ｒ１ の円をかき，O1を通り新しいO2，O3に外接する円が画ければ（ピンクの円），中心を変えず，半径をｒ１だけ 小さくすれば求める円です． したがって， １点Aと２円O,O'が与えられたとき，点Aを通り２円O,O'に外接する円を求める問題に帰着されました． その問題を解決しましょう． 
２円O，O'の共通外接線の交点をXとすると，Xは２円の相似の中心になります．
Xを通り，２円O，O'と交わる任意の直線を引き，O,O'のとの交点をP,Q,R,Sとします．ここで３点A,Q,Rを通る円を
考え，これらの円のうち，円O'と外接するのが見つけられればその円は円Oにも外接する（命題３）ので
終了します．あと一息です．ここで，Q,Rのとり方にかかわらずXQ・XRの値は一定ですから，直線XAと３点A,Q,Rを通る円 とのAでない方の交点は定点です．この定点をBとします． ３点A,R,Qを通る円は，３点A,B,Rを通る円と一致します． 言い方を変えれば，円O'上に一点Rを取り，３点A,B，Rを通る円を作り，その円とXRとの交点のうちRでない方を Qとすれば点Qは円O上にあるとなります． したがって，２点A,Bを通り，円にO'に外接する円を求める問題に帰着されました． この問題はすでに例で解決しているので，問題が完全に解決しました． 次の図は込み入っていますが，問題解決の作図法を表しています．黒円がAを通り，２円O,O'に外接する円です．  第３節 ２円が交わるとき 第１節で３円が互いに他の外部にある場合を調べました．これから残された場合を調べます． まず，３円のうち，２円が交わる場合から調べます．これからは，いろいろな場合があるので， 注意深く調べる必要があります． つぎの２つの図は，交わる２円O1,O2（青の太円）に共通に接する円を求めた図です．図１は共通に外接または共通 に内接する円，図２は片方に外接し，もう一方に内接する円になっています．なお，図１の点Pを通る直線はプログラム上 どうしても消せないので無視してください．どちらの図でも点Pをドラッグすれば，いろいろ変わり，点Pを円O1の周上を 一周すれば，２円O1,O2に共通に接する円はすべて表します． 図の説明 半径の異なる２円はどこにあっても相似の位置にあり，相似の中心は，２円O1,O2の半径をそれぞれｒ１，ｒ２ とすると，線分O1O2をｒ１：ｒ２に外分する点，内分する点です．図１，図２とも点Aが２円O1,O2の相似の中心です． 点P，円O1の中心，相似の中心Aをドラッグしていろいろ確かめてみましょう．また，円O1の周上の点をドラッグすると 円の大きさが変わります． 図１ 図２ （T）円O3がO1,O2と交わらない場合 円O3が円O1,O2と交わらないのは次のピンクの円の場合です．  次の図で調べれば，いずれの場合も３円に接する円は４つ存在することがわかります． 図３ 図４ したがって，次の結論を得ます． 定理 ２円O1,O2が２点で交わり，円O3がO１にもO2にも交わらないとき，３円に接する円は４個存在する． （U）円O3がO1,O2のいずれかだけと２点で交わる(接する場合を除く)とき この場合はO３（赤円）が次の３つの場合を調べればよい．ただし太円がO1,O2で，赤い円がO3.  次の図５，図６で確かめてみましょう．円O3の中心をドラッグすると中心が変わり，円の周上をドラッグすると 半径が半径が変わります． 図５ 図６ 実験により，次の結論を得ます． 定理 ２円O1,O2が２点交わり，円O3がO１またはO2のいずれかと２点で交わるとき，３円に接する円は４個存在する． （V）円O3がO1,O2のいずれとも２点で交わり，その４点は異なるとき（O3がO1,O2の交点は通らない） 黒円（円C3)が次の図の場合を調べればより． ２円O1,O2の交点をC,Dとするとき，上の図は円C３は２点C.Dを含まない．下の図は，円C3が２点C,D の片方または両方を含む．   図７ 図８ 実験により，次の結論を得ます． 定理 ２O1,O2が２点交わり，円O3がO１，O2のいずれとも異なる２点で交わりそれらの４点が異なるとき， ３円に接する円は８個存在する． （W）円O3がO1,O2の交点の片方を通る． 図で，円O3の中心O3をドラッグすると，２円O1,O2の交点を通る円O3が変わります． 図９ 実験により次の結論を得ます． 定理 ２O1,O2が２点交わり，円O3がO１，O2の交点のうち片方を通るとき， ３円に接する円は４個存在する． 図１０ （X）円O3がO1,O2の両方の交点を通る． これは少し見方を変える． ２円O,O'が与えられたとき，２円に関する方べきの等しい点の軌跡は直線にない， この直線を２円O,O'の根軸という．３円O1，O2，O3が与えられ，この３円のどの２つの根軸も一致するとき， この３円を共軸系をなすというポンスレの閉形定理（第３節） を参照． ３円が共軸系をなすのは次の場合である．    いずれの場合も，３円に共通に接する円はない． 第４節 ２円が接するとき （T）２円O1,O2が外接するとき 図１１ 図１２ 定理 ２円O1,O2が外接するとき次が成り立つ． 円O3が２円O1,O2の外部にあるか，O1,O2の両方と２点で交わるとき，３円に接する円は６個． 円O3が２円O1,O2の片方だけて２点で交わるとき，３円に接する円は４個． 円O3が２円O1,O2の接点を通るとき，３円に接する円は２個 円O3が２円O1,O2のいずれかの円の内部にあるとき，３円に接する円は２個 円O3が２円O1,O2のいずれかに内接するとき，３円に接する円は３個 円O3が２円O1,O2のいずれかの円外接するとき，３円に接する円は４個 円O3が２円O1,O2のいずれとも外接するとき．３円に接する円は５個 （U）O1,O2が内接する場合 図１３ 定理 ２円O1,O2が内接する場合次が成り立つ． 円O3が２円O1,O2の外部にあるとき３円に接する円は２個 円O3が２円O1,O2の両方と２点で交わるとき，３円に接する円は６個． 円O3が２円O1,O2の片方だけと２点で交わるとき，３円に接する円は４個． 円O3が２円O1,O2の接点を通るとき，３円に接する円は２個 円O3が２円O1,O2の小さい円の内部にあるとき３個， 円O3が２円O1,O2の大きい円の内部かつ小さい円の外部にあるとき，３円に接する円は６個， 円O3が２円O1,O2の大きい円に内接するとき，３円に接する円は５個 円O3が２円O1,O2の小さい円に内接するとき，３円に接する円は３個 円O3が２円O1,O2の大きい円に外接するとき，３円に接する円は３個 円O3が２円O1,O2の小さい円に外接するとき，３円に接する円は５個 円O3が２円の大きい円に内接し，小さい円に外接するとき，３円に接する円は５個 ３円O1,O2,O3が同じ点で接するとき，３円に接する円は無数に存在する． 第５節アポロニウスの問題のまとめ 与えられた３円に接する円の個数は次のとおりである． なお，以下の分類は，２円O1,O2の位置関係を利用した．なお，図のO1,O2は太い青線で，O3は太い黒円を 用いている． |
 |
円O3が２円の外にあるか，２円を含むとき，３円に接する円の個数は８ |
（U）２円O1,O2が２点で交わるとき
 |
円O3が２円の外にあるか，片方の円だけと２点で交わるか，２円の交点のうち片方を通るか ，２円の外部にあるとき，３円に接する円の個数は４ |
 |
円O3が２円の両方とそれぞれ２点で交わるとき，３円に接する円の個数は８ |
（V）２円O1,O2が外接するとき
 |
円O3が２円の外にあるか，両方の円とそれぞれ２点で交わるとき， ３円に接する円の個数は６ |
 |
円O3が２円の外にあるか，２円を含むとき，３円に接する円の個数は８ |
 |
円O3が２円と外接するとき，３円に接する円の個数は５ |  |
円O3が片方の円に内接するとき，３円に接する円の個数は３ |
 |
円O3が片方の円に含まれるか２円の接点を通るとき，３円に接する円の個数は２ |
（W）２円O1,O2が内接するとき
 |
円O3が両方の円と２点で交わるか，または大きな円の内部にありかつ小さな円の外部に あるとき，３円に接する円の個数は６ |
 |
円O3が大きい円に内接するか，小さい円外接するか，大きい円に内接しかつ小さい円に外接する とき，３円に接する円の個数は５ |
 |
円O3がいずれかの円だけと２点で交わるとき，３円に接する円の個数は４ |
 |
円O3が大きい円に外接するか，小さい円に内接するか，小さい円に含まれるとき ，３円に接する円の個数は３ |
 |
円O3が大きい円の外部にあるか，接点を通るとき，３円に接する円の個数は２ |
（X）それ以外
 |
３円が２点で交わるか，２円が互いに他の外部にありかつもう１つの円が 片方の円に含まれるか，または１つの円の中にもう１つの 円があり，さらにその中にもう１つの円がある場合（これらの条件は３円が共軸系をなすか，または各円を交 わらない範囲で平行移動したものということができる），３円に接する円の個数は０ |
 |
３円が１点で接するとき，３円に接する円の個数は無数 |
表の見方 １．与えられた３円について，接する２円があるかどうかを調べ，もしあれば表V，W，Xでどの場合かを調べる． ２．接する２円がないとき，交わる２円があるかどうかを調べ，あれば表Uで調べる． ３．３個の円が交わらないときはTまたはXで調べる． 第６節 軌跡を利用する方法 ここではアポロニウスの問題を軌跡を利用して考えます． まず，２円が与えられ３たとき，２円に接する円の中心の軌跡は双曲線か楕円です（２円が外接する，内接 するときは直線も考える必要がありますがここでは考えません）．  上の左図で円O,O'の半径をそれぞれｒ，ｒ’とすると 左図は PO−ｒ＝PO'−ｒ’ ∴ PO−PO'=ｒ−ｒ’＝（一定） したがって，点Pの軌跡は２点O,O'を焦点とする双曲線の片方です． 右図は ｒ−PO＝PO'−ｒ’ ∴ PO＋PO'＝ｒ＋ｒ’ 点Pの軌跡は２点O,O'を焦点とする楕円です． ２円が与えられたとき，両方に接する円の中心の軌跡をもう少し調べましょう． ２円に共に外接，内接する円は，  図より， PO−ｒ＝PO'−ｒ’ ∴PO−PO'＝ｒ−ｒ’（左図） PO＋ｒ＝PO'＋ｒ’ ∴PO−PO'＝ｒ’−ｒ（右図） したがって，２つの軌跡合わせて１つの双曲線になります． 次に片方に外接，もう一方に内接する円の中心の軌跡を間がます．  左図は PO-ｒ＝PO'+r' ∴ PO−PO'＝ｒ＋ｒ’ 右図は PO＋ｒ＝PO’−ｒ’ ∴ PO−PO'＝−ｒ−ｒ’ したがって，この場合も２つの軌跡をあわせて１つの双曲線になります． 準備が整いました．３円O,O',O"に接する円を求めるのに，２円O,O'に接する円の中心の軌跡と， ２円O,O"に接する円の中心の軌跡の交点を調べることはとても自然な発想です．この方法で アポロニウスの問題を考えます． まず，２円O,O'に接する円の中心の軌跡は２つの２次曲線で，２円O,O"に接する円の中心の軌跡も２つの２次曲線なので， これらの交点は全部で最大限１６個あります．当然すべてが３円に接する円の中心になるわけではありません． 図を用いて説明していきます． まず，２円O,O'の両方に接する円の中心の軌跡は次の図です．F,F'が焦点の赤い２次曲線が求める軌跡です． なお，４つの軌跡の曲線は右側から (円Fに内接し円F'に外接する円の中心の軌跡) (２円F,F'に外接する円の中心の軌跡) (２円F,F'に内接する円の中心の軌跡) (円Fに外接し円F外接し円F'に内接する円の中心の軌跡） となっています． （図の説明）A,Bは２円F,F'の相似の中心．点Aと円Fの中心および周上の点をドラッグしてみましょう． また，黒い円を赤い軌跡上の点におき，半径を変え，２円に接することを確かめましょう． 次に，３円F,F',F"が与えらたとき考えます．まず，２円F,F'に接する円の中心の軌跡は上で調べましたから， それに，２円F,F"の両方に接する円の中心の軌跡を重ねてみましょう．全部を重ねると，複雑になりすぎるので， ２つに分けて考えます． 次の図は，２円F,F"外接する円の中心と内接する円の中心の軌跡を加えた図です． （図の説明）A,Bは２円F,F'の相似の中心，A'は２円F,F"の相似の中心です． 点A，A'と円Fの中心および周上の点をドラッグしてみましょう． また，黒い円を赤い軌跡上の点におき，半径を変え，２円に接することを確かめましょう． 上の図で交点の個数は最大限８ですが，円Fに内接するか外接するかに注目することにより， ３円F,F',F"に接する円の個数は 最大限４であることがわかります． 次の図は，２円Fに外接，F"内接する円の中心と２円Fに内接，F"外接する円の中心の軌跡を加えた図です． （図の説明）A,Bは２円O,O'の相似の中心，点B'は２円F,F"の相似の中心です． 点A,B'と円Fの中心および周上の点をドラッグしてみましょう． また，黒い円を赤い軌跡上の点におき，半径を変え，２円に接することを確かめましょう． 次の図は，３円にを与えたときの円錐曲線がわかるものです．説明にしたがって，ご利用ください． > 図の動きが悪い場合はこちらをお試しください （図の説明） ３円F,F',F"に対して，A,A'は２円F,F'の相似の中心，B,B'は２円F,F"の相似の中心です． F,F'を焦点とする円錐曲線（赤，こげ茶）は，２円F,F'に共通に接する円の中心の軌跡， F,F"を焦点とする円錐曲線（黒，緑）は，２円F,F”に共通に接する円の中心の軌跡です． 左上の黒円は実際に接する円を調べるときに利用するためのもので，自由に動き，大きさも変わります． 中心，周上の点をドラッグしてみましょう． 次に，右側の点Pの横の数字は２円F,F'の相似比で点Qの横の数字は２円F,F"の相似比です． P,Qを上下に動かすと相似比が変わります．また，円Fは自由に変わります．Fの中心，周上の点を ドラッグして調べましょう．一番小さい円を円Fとすればすべての３円の関係が作れ調べられます． （パソコンの容量が大きくないと動きが悪いかもしれません） あとがき 第５節の分類は表だけではまだ不十分です．例えば，２円が交わるとき，第３円が， ２円と共に２点で交わる場合を調べると次の 図のようにいろいろあるからです．  ただ，反転変換を用いてすぐわかる場合を付け加えれば表は完成します． なお，反転変換によると，円の内部の円は外部に，外部の円は内部に，内接する円は外接します． 例えば表Tの 第６節の軌跡を利用する方法は図を是非利用してください（動きが悪いかもしれません）． 円Fを小さくすれば，遠方も調べやすくなります． なお，アポロニウスはこの問題をどのように考えたか私はわかりませんが， 多分第６節の方法で調べたのではないでしょうか． アポロニウスなら，２円を与えたとき，共通に接する円の中心の軌跡は即座にわかるでしょうし， 結果は得ることはそれほど困難なことではありません． 目次 |